Gracze zaczynają liczyć swoje szanse

Kiedyż więc wreszcie nauka - ta prawdziwa - zabrała się za problemy statystyczne? Po odrodzeniu nauki u schyłku średniowiecza, dopiero wiekach 15. i 16. w pojawiają się pierwsze nazwiska: brat Luca Paciolli (OFM - franciszkanin), Tartaglia i Cardano. Z tych trzech nazwisk "uchowało" się głównie jedno - wszyscy wiemy na czym polega zawieszenia Cardana, a także pamiętamy (?) wzory Cardana na znajdowanie pierwiastków równania trzeciego stopnia. (N.B. ten ostatni problem, spowodował "przypadkowe odkrycie" liczb zespolonych).
Trójka znakomitych matematyków, zresztą nie szczędząca sobie wzajemnych złośliwości. Właśnie u Paciolliego (o randze tego uczonego niech świadczy fakt, że sam Leonardo da Vinci ilustrował jego rękopis De divine proportione), w jego Summa de Arithmetica et Geometrica pada pierwsze pytanie, które wszędzie uznawane jest za początek ,,statystyki stosowanej''. Jest to tak zwany problem gry w piłkę (balla): Dwie ekipy grają do 6 zwycięstw. Gra zostaje przerwana w momencie gdy jedna ekipa ma już 5 zwycięstw, a druga tylko 3. Jak należałoby podzielić 22 dukaty premii? (Nota bebe: juz sama wysokość nagrody świadczy, że twórca problemu nie miał dobrego pomysłu na to jak powinien on byc rozwiązany.
Sam Luca proponował podział nagrody w stosunku 5:3, Cardano zaproponował (w swojej De ludo alea - O grze w kości) dość ciekawy (i bliski poprawnej odpowiedzi) podział, w proporcji $$\frac{1+...+(6-5)}{1+2+...+(6-3)}=1/6.$$

Z kolei Tartaglia uważał, że podział powinien być dokonany w stosunku

$$\frac 12+\frac{x-y}{2z},$$

gdzie z to liczba zwycięstw potrzebnych do wygrania, a $x,\,y$ - to liczby zwycięstw obu ekip. W tej konkretnej sytuacji należałoby dzielić w stosunku 4:2. Ale - mimo, że wszyscy trzej byli z pewnością świetnymi matematykami, to żaden z nich nie podał poprawnej odpowiedzi! Na tę ostatnią trzeba na nią było czekać 150 lat, a zawdzięczamy ją Pascalowi. To on podał właśnie poprawny schemat rozumowania : należy rozważyć wszystkie możliwe sekwencje w maksymalnej liczbie gier, jakie mogą być jeszcze rozegrane. Takich gier może być co najwyżej trzy, a sekwencje to

$$AAA\;\;AAB\;\;ABA\;\;ABB\;\;BAA\;\;BAB\;\;BBA\;\;BBB,$$

gdzie A oznacza zwycięstwo pierwszej, a B - drugiej ekipy. Jak widać siedem (na osiem możliwych) sekwencji zapewnia zwycięstwo pierwszej ekipie, a więc premia powinna być podzielona w stosunku 1 :7. Oczywiście, taki wynik można też uzyskać na gruncie modelu rozkładu dwumianowego (Bernoulliego). W obu przypadkach zakładamy, że w pojedynczej grze obie ekipy mają jednakowe szanse na wygranie. Problem można nieco skomplikować, jeżeli szanse obu ekip określać na podstawie dotychczasowych wyników. 

1999-03-08