Blaise Pascal

Blaise Pascal (1623-1662), to matematyk i fizyk, który ostatnie osiem lat swojego krótkiego niestety życia poświęcił bez reszty działalności religijnej i filozoficznej (był rzecznikiem jansenistów). Pascal od dziecka był geniuszem matematycznym, uczestnikiem elitarnego kółka (dorosłych) matematyków, skupionych wokół ojca Mersenne (poszukiwania tzw. doskonałych liczb) Ojciec Błażeja, Etienne Pascal, sędzia, w roku 1639 został zarządcą urzędu podatkowego dla Normandii. Blaise jako dobry syn spędził kilka lat nad konstrukcją maszyny do liczenia ,, który miałby pomóc ojcu w uciążliwych rachunkach. W ciągu 10 lat opracował podobno 50 modeli takiego mechanicznego kalkulatora, który zresztą świetnie działał. Pascal miał nadzieję, że opatentowana wersja uczyni go bogatym. Niestety - znakomita maszyna okazała się ...za droga. Zainteresowanie Pascala statystyką rozbudził Antoine Gombaud (16071684), Chevalier de Méré, żołnierz, podróżnik (zawędrował nawet do Ameryki, co na owe czasy było nie lada przedsięwzięciem), arbiter elegantiarum (pisał podręczniki dobrych manier !) i ... gracz w kości. Miał o sobie niezłe mniemanie jako matematyku. Jego problem był następujący: otóż, de Mere potrafił obliczyć, że potrzebuje czterech rzutów jedną kostką do skutecznego (tzn. z szansami nieco większymi od 50 %) obstawienia zakładu, że uda mu się wyrzucić szóstkę. Rzeczywiście takie prawdopodobieństwo, wynosi ,,pewność - 4$\times$nie-szóstka'', czyli

1 - (5/6)⁴ = 1 - 625/1296 > 0.5.

Ten wynik de Mere próbował uogólnić na przypadek gry dwoma kostkami. Już Cardano określił ,,przestrzeń zdarzeń'' dla dwóch kostek: $6\times 6 = 36$ możliwości. De Mere próbował przenieść mechanicznie proporcję z rzutów jedną kostką - $4/6\times 36 = 24$, a więc zakładał się, że wyrzuci dwie szóstki w przynajmniej 24 rzutach i ...przegrywał! Rzeczywiście, żeby grać bezpiecznie potrzebnych rzutów jest 25:

$$1 - (35/36)^{24} = 0.4914, \;\;\mbox{\rm natomiast} \;\;\; 1 - (35/36)^{25} = 0.5055.$$

De Mere był tak wzburzony niepowodzeniem^1.2, że napisał o tym do Pascala. Ten - dał się wciągnąć się i w dodatku wciągnął do konsultacji samego Pierre'a Fermat (tak, tak, tego od zasady Fermata w fizyce i wielkiego i małego twierdzenia Fermata w teorii liczb). Owocem tych zainteresowań (i jak tu nie mówić, że i niewłaściwe zainteresowania mogą spowodować pozytywne skutki!) był opublikowany 1654 Traité du triangle arithmétique, kopalnia użytecznych relacji pomiędzy współ czynnikami dwumianowymi^1.3, znanymi właśnie pod nazwą ,,trójkąta Pascala''. Te współczynniki występują też we wzorze (niezbyt chyba słusznie nazywanym wzorze Newtona, skoro znali go już, wprawdzie dla niewielkich n, ...sumeryjscy rachmistrzowie, 2 tysiące lat przed Chrystusem):

$$(a + b)^n = \sum^{n}_{k=0} \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) a^kb^{n-k}$$ (1.1)

jako symbole

$$\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \equiv \frac {n!}{k!(n-k)!}.$$ (1.2)

Trójkąt Pascala^1.4, utworzony z kolejnych wartości współczynników 1.2 może być użyty do rozwiązania problemów typu gry w balla: np. gramy do czterech zwycięstw, przeciwnik ma już jedną wygraną - jakie mam szanse? Konstruujemy trójkąt Pascala dla n=6 (jest to maksymalna liczba gier jakie mogą się odbyć), czyli wyliczamy po kolei współczynniki 1.2, dla $n = 0, 1, \ldots, 6$:

$$\begin{array}{c} 1 \\ 1 {\;\;\;} 1 \\ 1 {\;\;\;} 2 {\;\;\;... ...;}\ldots {\;\;\;}\ldots {\;\;\;}\ldots {\;\;\;}1 \end{array}$$

(Wiesz zapewne, że każdy wyraz (poza skrajnymi jedynkami) kolejnego wiersza obliczamy dodając do siebie jego sąsiadów z lewej i prawej strony w poprzednim wierszu.) Wystarczy więc przyglądnąć się ostatniemu, siódmemu wierszowi. Mamy 2ⁿ = 2⁶ = 64 możliwości różnych sekwencji zwycięstw. Jest 1 (tylko) szansa na moich 6 kolejnych zwycięstw, 6 - na pięć (przeciwnik wygrywa tylko raz), 15 - na cztery (przy dwóch przeciwnika). Wszystkie pozostałe scenariusze prowadzą do mojej przegranej. Moje szanse wygrania całej partii to 1 + 6 + 15 = 22 do 64, a więc trochę więcej niż jedna trzecia. O ile Pascal nie był ,,prawdziwym ojcem'' swojego trójkąta, to z dużą dozą pewności można go uznać za ,,ojca'' metody indukcji matematycznej.